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病毒传播的数学模型。

浏览 181次 来源:【jake推荐】 作者:-=Jake=-    时间:2021-01-08 08:06:20
[摘要] 传染病传播数学模型在这里不可能从医学角度一一分析各种传染病的传播特点,而只能是按照一般的传播机理来建立数学模型.上式即为所要建立的数学模型,由于方程无法求出s(t)和i(t)的解析解,因此只能采用数值计算(具体应用时可使用数学软件来完成),也可以在相平面s-t上讨论分析s,t之间的关系.

传染病传播的数学模型

随着卫生设施的改善,医疗水平的提高以及人类文明的不断发展,曾经肆虐世界的霍乱和天花等传染病得到了有效控制。但是一些新的且不断变化的感染该病毒悄悄地袭击了人类。极度危险的艾滋病毒在1980年代开始肆虐世界,如今仍在蔓延。 2003年春季,未知来源的SARS病毒席卷全球,对人们的生命和财产造成了巨大伤害。现在在9102年,冠状病毒仍在全球肆虐。长期以来,建立描述传染病传播过程的传染病数学模型,分析感染人数的变化以及探索阻止传染病传播的方法一直是相关专家关注的热点问题。

不同类型传染病的传播过程具有其自身的不同特征。要了解这些特征,需要具备大量的病理学知识。从医学的角度分析各种传染病的传播特征是不可能的yabobet ,只能根据一般的传播机制建立数学模型。

首先介绍最简单的传染病模型。假设在时间t x(t)的患者人数是一个连续且可微的函数,并且每位患者每天有效接触的平均人数(足以引起疾病的接触)为常数λ。检查了从t到t +Δt的患者数量的增加,因此给出以下表达式:

当t = 0时,有x0位患者。从上式取Δt→0的极限,得到以下微分方程:

该模型显示,随着t的增加,患者的人数x(t)无限增加,这显然与现实不符。上述建模失败的原因是:在患者有效接触的人群中,有健康人群和患者,只有健康人群才能被感染。因此,在下面的改进模型中,必须区分这两种人。总人数是有限的,而不是无限的。并且随着患者数量的增加,健康人的数量正在逐渐减少。因此,患者人数不会无限期增加。

为了改善上述模型的缺点,请进行以下更改:

假设在疾病传播期间受检查区域的总人数保持不变,则不考虑生命,死亡或迁徙。人口分为两类:易感人群和感染人群BG视讯 ,以下简称健康人群。在时间t,这两种类型的人在总人数N中所占的比例分别为s(t)和i(t)。每位患者每天有效接触的平均次数为常数λ,称为每日接触率。有效接触健康人后,健康人就会被感染并成为患者。

根据上述假设,每个患者每天都可以将λs(t)健康人变成患者。由于患者人数为Ni(t),因此每天都有λNs(t)i(t)个健康人被感染。因此,λNs(t)i(t)是患者Ni(t)的增长率传播模型,即有以下模型:

传播模型

此时,患者人数增长最快。可以认为这是医院门诊次数最多的时间。它指示传染病高潮的到来传播模型,也是医疗卫生部门的时候。 tm与λ成反比,因为每日接触率λ代表区域的健康水平,λ越小,健康水平越高。因此,改善卫生设施和提高健康水平可以延缓传染病高潮的到来。当t→∞时,i→1.表示每个人最终都将受到感染并发生变化。对于患者来说,这显然与实际情况不符。原因是该模型没有考虑到患者可以治愈。人群中的健康人只能成为患者,而患者将不再健康。

为了修改上述结果,必须重新考虑模型的假设。在以下模型中,患者可以治愈。某些感冒,痢疾等传染病在恢复后免疫力很低,因此可以认为没有免疫力。因此,患者治愈后就变得健康,健康的人可以被感染并再次成为患者。

每天治愈的患者人数与患者总数的比率为常数μ,称为每日治愈率。病人治愈后,便成为仍然可以被感染的健康人。显然,这种传染病的平均感染期为1 /μ。该模型修改为:

传播模型

模型的解可以表示为:

传播模型

传播模型校正_口碑传播模型_传播模型

定义σ=λ/μ。注意λ和1 /μ的含义。可以知道,σ是每个患者在整个感染期间的平均有效接触次数,称为接触次数。使用σ可以将模型重写为:

接触数σ= 1是一个阈值。当σ> 1时,i(t)的增加或减少取决于i0的大小,但其极限值

i(∞)= 1-1 /σ随σ的增加而增加;当σ≤1时,患者i(t)的比例越来越小,最终趋于零。这是由于感染期间健康的人成为病人的人数没有超过原来的人数。

大多数传染病,例如天花,流感,肝炎,麻疹等,在治愈后具有很强的免疫力。因此,从疾病中恢复过来的人既不健康(易受感染),也不生病(受感染)。他们已经从感染系统中撤出了。这种情况更加复杂。分析过程将在下面进行进一步分析。

假设在疾病传播期间受检查区域的总人数保持不变,并且不考虑生死,迁徙。人口分为健康人,病人和免疫移民。总数中共有三种人。比例分别表示为s(t),i(t)和r(t);患者的日暴露率恒定为λ,每日治愈率恒定为μ,感染期间的接触次数为σ=λ/μ。

根据该假设,可以知道s(t)+ i(t)+ r(t)= 1.对于有免疫力的外籍人士应使用以下表达式:

请记住,初始时刻健康人和患者的比例为s0(s0>0)和i0(i0>0)),并且可以假定移民的初始值为r0 = 0 ,则获得以下微分方程模型:

传播模型

以上公式是要建立的数学模型。由于这些方程无法找到s(t)和i(t)的解析解,因此只能使用数值计算(数学软件可以用于特定应用)。可以在相平面st上讨论和分析s和t之间的关系。

σ=λ/μ是模型中的重要参数。由于方程模型没有解析解,因此λ和μ都难以估计。当传染病结束时,可以获得s0和s∞。使用以下公式估算σ。

当同一传染病到来时,如果估计λ和μ变化不大,那么上面获得的σ可用于分析这种传染病的传播。

在各种实际问题中产生的微分方程模型。大多数微分方程无法解析地求解,只能通过数值解来求解。数值解必须给出各种参数。 Matlab软件中有一些专业。例如,对于命令求解,我们可以为上述微分方程编写以下Matlab程序:

首先写入M文件

函数y = ill(t,x)

a = 1; b =0.3; %给定方程中的参数λ=1、μ=0.3

y = [a * x(1)* x(2)-b * x(1),-a * x(1)* x(2)]';;

在命令窗口中输入

st = 0:30;

x0 = [0.02,0.98]; %给定方程式中的初始值i(0)=0.02,s(0)=0.98

[t,x] = ode45('ill',st,x0); [t,x]

图(t,x(:,1),t,x(:yaboapp ,2))亚博代理推荐 ,网格,暂停

plot(x(:,2),x(:,1)),一组数据t,i,s(共31组)和i(t),s(t)为网格操作后获得的图形,请参见图8-1和图8-2.

ans =

00.02000.9800

传播模型校正_口碑传播模型_传播模型

1. 00000.03900.9525

2.00000.07320.9019

…………………………

28.00000.00280.0402

29.00000.00220.0401

30.00000.00170.0401

传播模型

图8-1 i(t),s(t)图形

传播模型

图8-2i-s图(相轨迹)

老王
本文标签:传染病

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